Los números grandes: Del Millardo al Googol.

Por Fernando Ruíz Guzmán – Subdirección de Hidrología.

A lo largo de estas líneas se hablará, muy elementalmente, de los números grandes, abordándolos de menor a mayor. Además, en algunos casos, se exhibirán ciertos datos que permiten formar una idea mas concreta de la magnitud de ellos.

1º) El más «pequeño» de ellos es 109, mil de millón. La Real Academia Española de la Lengua admitió la palabra millardo para designar ésta cantidad. Para que se haga alguna idea de lo enorme de esta cifra, piense en el siguiente ejemplo: Un día tiene 1.440 minutos y un año 525.960 minutos, de modo que transcurrió un millardo de minutos desde la muerte de Cristo hasta 1.934. Otro ejemplo es el siguiente, si se quisiera contar hasta un millardo, a razón de 10 horas diarias, todos los días del año (incluidos los días festivos), al ritmo de un número por segundo, algo fácil al principio pero muy complicado cuando se llega a números como quinientos ochenta y siete millones cuatrocientos setenta y tres mil trescientas noventa y ocho, esta tarea terminaría al cabo de 77 años, por lo cual se recomienda empezarla a una edad muy temprana. Sin embargo, nuestro corazón late a una media de 70 pulsaciones por minuto y por ende tardaría 27 años y 2 meses en llegar al millardo de latidos.

El ejemplo más famoso sobre los grandes números es, tal vez, el de la progresión geométrica, de razón 2, con la cual se ejemplifica el pago por la invención del juego del Ajedrez. Esta invención se le atribuye al brahmán hindú Sissan ben Daher, quien presentó el juego al rey SHIRHAM. A éste le gustó tanto que quiso compensar a su inventor y para ello le pidió que formulara un deseo, el cual le sería satisfecho. Sissan le respondió que le bastaría que le diera un grano de trigo para la primera casilla, dos granos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y así sucesivamente hasta cubrir los sesenta y cuatro cuadros del tablero sobre el cual se adelanta el juego. El rey aceptó, pero le sorprendió la modestia de aquella petición. Una vez sus calculistas obtuvieron el resultado de aquella solicitud dijo: “Imposible, no nos alcanza nuestra producción de trigo para satisfacer tal demanda”. Ahora, para formarse una idea aproximada de esta cifra, tan monstruosa, baste con saber que para reunir los granos de trigo demandados, sería necesario cultivar 76 veces el planeta Tierra, incluyendo los inmensos desiertos o, de otra parte, habría que almacenar la cosecha entera de todo el mundo durante unos 5.000 años, porque dicha demanda asciende a la no despreciable cantidad de  = 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, lo que equivale a un volumen de unos 9.557.898.400.000 m3 de trigo.

La misma sucesión se encuentra al doblar un papel por la mitad, sucesivamente. Al primer doblez se tienen 2 capas de papel. Al segundo doblez, 4 capas. Al tercer doblez, 8. Al cuarto, 16 capas. Al quinto, 32 capas. . . .al vigésimo plegado, se tienen 1.048.576 capas de papel. Si cada una de ellas tiene de grosor 0,1 mm, entonces, el grosor de éste es 104.857,6 mm, o 104,8576 m (más de una tercera parte de la Torre EIFFEL). Si imaginariamente se siguiera haciendo este plegado, al llegar al quincuagésimo, su grosor sería de: 112.589.990.674,2624 Km , es decir, un poco más de las dos terceras partes de la distancia al Sol.

2º) Ahora, de otra parte las potencias son una forma concreta de expresar (y obtener) grandes números. Veamos un ejemplo muy interesante:

El número más grande que se puede expresar empleando tres veces la misma cifra es el siguiente: para el uno: 111; para el dos: 222 = 4.194.304; para el tres: 333 = 5.559.060.566.555.523 (obsérvese que este número es mucho más grande que  = 7.625.597.484.987); pero esto cambia a partir de aquí, ya que para cuatro:  > . El crecimiento de la sucesión  es muy rápido. Por ejemplo, si se toma el número más grande, de un dígito, como lo es el 9. se obtiene  = . El trabajo de su cálculo es un buen ejercicio para el lector potencial de estas líneas, pero se advierte que este número está compuesto por 369.693.101 dígitos, empieza por 9.431.549 y termina en 9; pero si se quisiera escribirlo en un cinta de papel, a razón de 2 dígitos por centímetro, se necesitarían 1.848,4655 kilómetros de dicho material.

3º) Otra familia de grandes números es la que se conforma con las potencias de 10: Así, decena: 10, centena: 102, millar: 103, decena de millar: 104, centena de millar: 105, millón: 106, millardo (mil millones): 109, billón: 1012, trillón: 1018, cuatrillón: 1024, quintillón: 1030, sextillón: 1036, septillón: 1042, octillón: 1048, nonillón: 1054, decillón: 1060, undecillón: 1066, duodecillón: 1072, . . . , diez mil hexadecillones (o googol): 10100

El término googol fue acuñado en 1.938 por Milton SIROTTA, un niño de 10 años, sobrino del matemático estadounidense Edward KASNER quien habiendo señalado que no existía un término para designar 10100 , registró dicha expresión, por primera vez, en su libro Las matemáticas y la imaginación, y como anécdota se recuerda lo dicho por Isaac ASIMOV: “Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé”.

En verdad, para nuestra realidad espacio-temporal, no hay nada que equivalga a un Googol (10100). Veamos algunos ejemplos:

  • El número de pelos, en las cabezas, de toda la población mundial asciende a: 125.000 x 6.000.000.000 = 7,5*1014.
  • Si se estima que el número de PC’s que existen en todo el mundo es un millardo (109) y la capacidad media de su disco duro es de 100 Gb (1011 bytes), se estaría diciendo que el número de bytes de información almacenables, en todos discos duros del planeta, es del orden de los 1020 bytes.
  • El número de las estrellas del firmamento, en nuestra galaxia, son unas 200 millardos o 2*1011.
  • El número de veces que la Tierra ha girado sobre sí misma, desde que existe, es de 365,25*4.600.000.000 = 1.680.150.000.000 o 1,68015*1012, suponiendo que la rotación haya sido siempre regular.
  • El número de granos de arena que habría en el desierto del Sáhara, suponiendo que todos sus 8 millones de km2 estuvieran cubiertos de ella e incluso que hubiera 2 millardos de granos de arena por cada m2, sería de: 2.000.000.000*8.000.000.000.000=16*1021
  • El diámetro de nuestra galaxia, medido en milímetros, es: 9,4607304725808*1023 mm
  • La superficie del círculo que ocupa la galaxia, medido en milímetros, es: 7,0297393326278*1047 mm2.
  • El volumen de la galaxia, medido en milímetros, es: 3,3253234559246*1070 mm3
  • Se estima que, sin contar con la materia oscura, hay entre 1072 y 1087 átomos en todo el universo, es decir, que no es posible construir una especie de camándula, donde cada «pepita» fuera un átomo, que nos permitiera aprehenderlo. Es más, dicha «camándula» no cabría en el universo entero!!!.

Como queda de manifiesto, el Googol es un número colosal, pero en el supuesto de que lo pudiéramos llegar a imaginar, tendríamos números aún mayores para intentar lo mismo. Por ejemplo, en la religión budista, el mayor número de todos recibe el nombre de asankhyeya, el cual equivale a 10140.

Ahora, si esta magnitud no es suficiente, entonces se tiene Googol Plex o googolplex el cual se define como 10googol = , algo que es completamente inimaginable. Se ha llegado a hablar, del Googol Plex Plex o Googolplexplex, que se define como 10googolplex , e incluso de un P-no (o Pino, en su fonética inglesa) que se define como googolgoogol pero es mejor no pensar en estas cantidades ni en aquella sucesión.

De otra parte, si se quisiera escribir, en una tira de papel, todos los ceros de un googolplex ello no sería posible, porque dicha tira no cabría dentro del universo (por suerte, la notación científica «ayuda» en esto). Pero un googol, un googolplex, un googolplexplex o un Pino, por más grandes que sean no dejan de ser finitos, y por ende, ellos están a la misma distancia del infinito que el número uno.

Finalmente, la figura geométrica regular con un googol de caras se llama googoledro. Esta figura, de existir, sería prácticamente una esfera.

  • Nota 1: Se usó la numeración sugerida por la XIX Conferencia General de Pesos y Medidas. (octubre de 1.991)
  • Nota 2: el motor de búsqueda Google fue llamado así debido a este número. Sus fundadores lo iban a llamar Googol, pero debido a un error de ortografía de Larry PAGE (1.973 – ®) terminaron llamándolo con Google
  • Nota 3: En la serie “Los Simpsons” el cine de la ciudad de Springfield se llama googolplex, lo cual puede entenderse de dos maneras: la primera es que se quiere hacer referencia al número como tal y la segunda es que el cine tiene la cantidad googol de salas, ya que la terminación “plex” indica la cantidad de salas que hay en un cine. Por ejemplo, un cine «decaplex» tiene 10 salas de cine.
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2 comentarios en “Los números grandes: Del Millardo al Googol.

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